Salutare.

Sa presupunem ca pun intrebarea:

"Ce numar vine dupa urmatoarea secventa?

3, 10, 17, 24."

Ce ati face?

Ati incerca sa vedeti ce legatura este intre ele. Si poate ca cineva observa ca e o diferenta de +7 dintre doua numere consecutive si la urma ati adauga numarul 31.

Daca ati vedea sirul: 9, 7, 5, 3 si as intreba ce urmeaza, sigur cei mai multi ar spune 1. Da, asa este. Dar asta pentru ca vedeti o descrestere cu valoarea doi. Sau o crestere cu valoarea -2.

Acum sa zicem ca avem sirul 3, 7, 11, 15... Observati primul termen ca este 3. Vedeti ca avem o crestere din 4 in 4. Aceasta rada de crestere, negativa sau pozitiva o numim ratie si o vom nota cu "r". Iar pe primul termen il vom nota cu a(1). Cele doua informatii sunt suficiente sa vorbim despre o progresie aritmetica.

In concluzie o progresie aritmetica este un sir de numere reale in care un termen se obtine din precedentul la care se adauga un numar real constant nenul numit ratie. Da, putem avea ratie 7/5. Sau -1/3. Ori radical(3). Doar sa nu fie o valoare nula. Un termen poate fi nul, nu si ratia.

Sa zicem ca deja cunoastem primul termen a(1) si ratia r. Daca vrem sa aflam termeni de genul a(7), a(8), merge sa facem asta si babeste. Dar ce ne facem daca vrem pe a(324)? Nu procedam asa, ca iesim la pensie pana vedem rezultatul.

Atunci avem nevoie de formule:

a(n) = a(1) + (n-1)*r.

Daca avem a(1)=3 si r=4, cat va fi a(324)?

Folosim formula si vom avea a(324)=a(1)+(324-1)*r

a(324)=3+323*4. Nu o sa scriu rezultatul. E o aritmetica de clasa a IV-a.

Am glumit: a(324) = 3+1292 = 1295.

Dar sa zicem acum ca cineva doreste sa calculeze suma numerelor a(1)+a(2)+...+a(324).
Daca vrem babeste, putem sa lasam calculul acesta si generatiilor viitoare. Poate se rezolva pana la prima intalnire cu extraterestrii.

Evident ca nu facem babeste. Avem formule. Simple de tot.

Avem a(1) si ratia r. Vrem sa calculam pe a(1)+a(2)+.....a(n).

Avem doua formule: a(1)+a(2)+.....a(n) = ( a(1) + a(n) ) * n / 2.

Deci adunam primul si ultimul termen. Rezultatul il inmultim cu "n" si apoi impartim la 2.

a(1)=3, r=4, n=324.

a(1)+a(2)+...+a(324) = ( a(1) + a(324) ) *324 / 2 = ( 3 + 1295 ) * 324 /2 = 210276. Un pic mai mult ca ce mai mare pensie pe care o incaseaza un roman pensionar care a fost bancher in sistemul privat. Am bagat Photomath-ul ca sa scriu rezultatul.

O formula la fel de buna este :

a(1)+a(2)+.....a(n) = n*a(1) + r*n*(n-1)/2.

Aceasta se obtine daca inlocuiesc formula lui a(n) in prima formula a sumei a(1)+a(2)+.....a(n).

Si mai sunt multe chestii interesante.

2*a(n)= a(n-1) + a(n+1), n>1

Dublul unui termen este egal cu suma vecinilor sai.

a(m) - a(n) = ( m - n ) * r. Nu e in cartile de matematica, dar incercati sa o deduceti!


a(m)+a(n)= a(m-k) + a(n+k), k < m < n. Nici asta nu e in carti, dar daca stiu suma dintre a(100) si a(200) atunci cat va fi a(97)+a(203). Presupunem ca nu stim nici a(1) si nici r. Ar trebui sa o gasiti cu usurinta.

Sa zicem ca avem o functie f:N*->R, f(n)=p*n+q, p,q reali, p nenul.

Ei bine, termenii f(1), f(2), .... f(n) vor fi si ei in progresie aritmetica. Care va fi ratia acesteia? E p? O fi q? E p+q? Ati retinut ca ratia nu poate fi nula?

Raspuns corect: r=p. Calculati f(n+1)-f(n) si va da un numar constant. De aceea am putut afirma ca ei formeaza o progresie.

As scrie mai multe, dar vreau sa apara si alte contributii. Madalina, sa pui o intrebare si despre progresia geometrica, sa apara acolo contributori.

Sper ca v-a placut lectura.

Salutare, Valentin!

Sunt foarte incantata ca exista disponibilitate pentru impartasirea cunostiintelor pe aceasta platforma.

Explicatia oferit mi se pare foarte detaliata si contine elemente esentiale :) felicitari pentru munca depusa!

Cu drag,
Madalina